第2章 资金时间价值与等值计算

2．2  资金时间价值计算的基本公式

2．2．3  运用复利计算基本公式应注意的问题

1．关于各时间值发生的时点

（1）现值P发生在计算期的期初。

（2）终值F发生在计算期的期末。

（3）等额支付序列A发生在每一期期末，第一个A与P相隔一期，最后一个A与F同时发生。

（4）均匀梯度序列中，第一个G发生在第二期期末。

如果项目的现金流量与基本公式建立的假设条件不符，则不能直接利用公式进行计算。

2．关于各系数之间的关系

（1）倒数关系

（P/F，i，n）=1/（F/P，i，n）

（A/F，i，n）=1/（F/A，i，n）

（A/P，i，n）=1/（P/A，i，n）

（2）乘积关系

（F/P，i，n）·（P/A，i，n）=（F/A，i，n）

（F/A，i，n）·（A/P，i，n）=（F/P，i，n）

（A/F，i，n）·（F/P，i，n）=（A/P，i，n）

（3）特殊关系   （A/P，i，n）=（A/F，i，n） i

2．2．4  复利计算基本公式的应用

1．期初年金的计算

期初年金：是指等额支付序列现金流量发生在每期的期初。

2．延期年金的计算

延期年金：是指不是从第一期期末而是从以后某一期末开始支付的年金。

3．永续年金的计算

永续年金：是指计算期无限长的等额序列，如一些“永久性”的工程项目，水坝、水库、铁路等。其现值为：

【例题】某项永久性奖学金， 每年计划颁发50000元奖金。若年复利率为8％，该奖学金的本金应为多少？
　　解析： 永续年金现值

2．3  名义利率与有效利率

2．3．1  名义利率与有效利率的概念

1．名义利率的概念

名义利率：是指按年计息的利率，即计息周期为一年的利率。它是以一年为计息基础，等于每一计息期的利率与每年的计息期数的乘积。

例如，每月存款月利率为3‰，则名义年利率为3.6%，即3‰×12个月/每年=3.6%。

2．有效利率的概念

有效利率：又称为实际利率，是把各种不同计息的利率换算成以年为计息期的利率。

例如，每月存款月利率为3‰，则有效年利率为3.66%，即（1 3‰）12-1=3.66%。

需要注意的是，在资金的等值计算公式中所使用的利率都是指实际利率。当然，如果计息期为一年，则名义利率就是实际年利率，因此可以说两者之间的差异主要取决于实际计息期与名义计息期的差异。

2．3．2  名义利率与有效利率的关系

1．离散式计息

按期（年、季、月、或日等）计息的方法称为离散式计息。

设名义利率为r，一年中计息次数为m，则有效利率为i=r/m。那么年初本金P一年后的本利和F为

一年的利息为：

则年有效利率（或称年实际利率）为：

【例2.4】某厂向外商订购设备，有两家银行可以提供贷款，甲银行年利率为8%，按月计息；乙银行年利率为9%，按半年计息，均为复利计算。试比较哪家银行贷款条件优越？

【解】企业应当选择具有较低实际利率的银行贷款。

　　分别计算甲、乙银行的实际利率：

　　　　i_甲＝(1 r/m)^m-1=(1 8%/12)¹²-1＝0.0830＝8.30%

　　　　i_乙=(1 r/m)^m-1=(1 9%/2)²-1=0.0920=9.20%

　　由于i_甲＜i_乙，故企业应选择向甲银行贷款。

2．连续式计息

按瞬时计息的方式称为连续计息。在这种情况下，复利在一年中无限多次计息，年有效利率为：

由于

而

所以

就整个社会而言，资金是在不停的运动，每时每刻都通过生产和流通在增值，从理论上讲应采用连续式计息，但在实际的经济评价中，都采用离散式计息。

从上例可以看出，名义利率与实际利率存在下列关系：

（1）当实际计息周期为1年时，名义利率与实际利率相等；实际计息周期短于1年时，实际利率大于名义利率。

（2）名义利率不能完全反映资金的时间价值，实际利率才真实地反映了资金的时间价值。

（3）实际计息周期相对越短，实际利率与名义利率的差值就越大。

【例】已知某住房按揭贷款年利率为6%，按月等额还本付息，则实际利率为（ D  ）。

A．6%      B. 6.09%       C. 6.14%       D. 6.17%

练习：某笔储蓄存款额为1000元，年利率为12%，期限为一年。如果分别以一年1次、一年2次、一年4次、一年12次计息，则一年后本利和分别为多少？

F1=1120，F2=， F4=1125.51，F12=1126.83。

两者之间的关系式：

设名义利率为r，若年初借款为P，在一年中计算利息m次，则每一计息周期的利率为r/m，一年后的本利和为： ，其中利息为I=F－P= 。故实际利率i与名义利率r的关系为：

通过上述的分析和计算，可以得出两者之间存在以下的关系：

①  实际利率比名义利率更能反映资金的时间价值；

②  名义利率越大，计息周期越短，实际利率与名义利率的差异就越大；

③  当每年的计息周期数m=1时，实际利率与名义利率相等； 

④  当每年的计息周期数m＞1时，实际利率大于名义利率；

⑤ 当每年的计息周期数m→∞时，实际利率与名义利率的关系为i=e^r-1

名义利率，是包含了通货膨胀因素的利率；实际利率是名义利率剔除了通货膨胀因素影响后的真实利率。假如名义利率为r，实际利率为i，通货膨胀率为e，则三者之间的关系为：。

【练习】

1. 当实际计息周期不是1年时，实际利率i和名义利率r之间的关系是（    A）。

A． B.  C.  D.

2. 以下关于资金时间价值的说法中，正确的有（ ABDE      ）.

A. 实际上，银行利息也是一种资金时间价值的表现形式，利率是资金时间价值的一种标志。

B．从投资者的角度来看，资金的增值特性使其具有时间价值。

C．由于资金存在时间价值，就无法比较不同时点上发生的现金流量。

D．从消费者的角度来看，资金的时间价值体现为放弃即期消费的损失所应得的补偿。

E．同样数额的资金在不同时点上具有不同的价值，而不同时间发生的等额资金在价值上的差别称为资金的时间价值。

3．从投资者的角度来看，资金时间价值的大小取决于（  ABD  ）。

A．投资利润率   B. 通货膨胀率    C. 经济成本率   D. 风险因素   E. 期望收益率

4. 以下关于实际利率和名义利率的说法中， 正确的有（ BCDE）。

A．名义利率比实际利率更能反映资金的时间价值

B．名义利率越大，计息周期越短，实际利率与名义利率的差异就越大。

C．当每年的计息周期数m=1时，实际利率与名义利率相等

D．当每年的计息周期数m＞1时，实际利率大于名义利率

E．当每年的计息周期数m→∞时，实际利率与名义利率的关系为i=e^r-1

5. 已知年利率为14％，则按季度计息时的实际年利率为（  C ）。【2004年】

A．12.55％      B．12.68％      　C．14.75％     　D．15.01％

6．已知某笔贷款年利率为12％，按季度计息，则该笔贷款的实际年利率是（B ）。【2005年】

A．12.35％      B．12.55％      　C．12.68％     　D．12.93％

7．某房地产投资项目的表面收益率为16％，计算后得到该项目的实际收益率为12％，银行的贷款利率为5.44％，则在该项目的计算期内，年平均通货膨胀率是（ A ）。【2005年】

A．3.57％     　B．4.00％       　C．6.56％    　　D．10.56％

8．银行为某家庭提供了期限为10年的按月等额还本付息的个人住房抵押贷款、若该笔贷款的实际年利率为7.25%，则名义年利率是(　A  )。【2007年】

A.7.02%         B.7.04%       　　C.7.50%      　　D.7.85%