第2章 资金时间价值与等值计算

2．2  资金时间价值计算的基本公式

2．2．2  复利计算基本公式

5．等额支付序列复利现值公式

为了连续n期每个计息期末提取等额资金A，在利率为i的情况下，现应投入的资金P为多少？现金流量图见教材P26。

因为                                               ，

所以

两边同时除以得

式中，称为等额支付序列复利现值系数，可用系数符号，公式可记为：。

公式推导：

普通年金现值为：
　　

等式两边同乘得：
　　

上述两式相减得：

化简得：

【例题】现在存入一笔钱， 准备在以后5年中每年末得到100元，如果利息率为10％，现在应存入多少钱？

解析：

【例2.10】设立一项基金，计划在从现在开始的10年内，每年年末从基金中提取50万元，若已知年利率为10%，问现在应存入基金多少钱？

【解】这是一个已知年金求现值的问题，其现金流量图见图2.14所示。

　　根据公式（2.18）、公式（2.19）有：

　　　　P=[A (1 i)n-1]/[i(1 i)n]=A(P/A,i,n)

　　　　　=A(P/A,10%,10)=50×6.1446

　　　　　=307.23（万元）

6．等额支付序列资金回收公式

期初以利率i投资一笔资金P，分n期等额回收，每期期末可等额回收A多少？或期初以利率i贷款P，计划分n期等额偿还，每期期末应等额偿还A是多少？现金流量见教材P26。

由可推导公式：

式中，称为等额支付序列资金回收系数，可用系数符号，公式可记为：。

【例】某项目投资100万元，计划在8年内全部收回投资，若已知年利率为8%，问该项目每年平均净收益至少应达到多少？

【解】这是一个已知现值求年金的问题，其现金流量图见图2.12所示。

　　根据公式（2.16）、公式（2.17）有：

　　　　A=Pi(1 i)n/[(1 i) n-1]=P(A/P,i,n)

　　　　　=100×0.174=17.40（万元）

　　即每年的平均净收益至少应达到17.40万元，才可以保证在8年内将投资全部收回

7．均匀梯度支付序列公式

即每期期末收支的现金流量序列以一固定的数值G等差递增（或增减）变化，如机械设备由于老化而每年的维修费以固定的增量支付等。现金流量如教材P27所示。

第一年年末的支付是A1，第二年年末的支付为A1 G，以后每年都比上一年增加一笔支付G，第n年年末的支付是A1 (n-1)G。梯度序列的将来值F2计算如下：

而与F2等值的等额年值A2为：

则梯度序列的等额年值：

【例】若某人第一年支付一笔10 000元的保险金，之后9年内每年少支付1000元，若10年内采用等额支付的形式，则等额支付款为多少时等价于原保险计划?

【解】根据公式(2.20)并查书中的附表求得

　　A＝10 000-1000×(A/G，i,10)

　　　＝10 000-1000×3.8713

　　　＝6128.7(元)

公式应用中应注意的问题：

(1) 方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初，即“零点”处；方案的经常性支出假定发生在计息期末。

(2) P是在计算期初开始发生（零时点），F在当前以后第n年年末发生，A是在考察期间各年年末发生。

(3) 利用公式进行资金的等值计算时，要充分利用现金流量图。现金流量图不仅可以清晰、准确地反映现金收支情况，而且有助于准确确定计息期数，使计算不致发生错误。

(4) 在进行等值计算时，如果现金流动期与计息期不同时，就需注意实际利率与名义利率的换算。如例2.12所示。

(5) 利用公式进行计算时，要注意现金流量计算公式是否与等值计算公式中的现金流量计算公式相一致。如果一致，可直接利用公式进行计算；否则，应先对现金流量进行调整，然后再进行计算。如例2.13所示。

【例2.12】某项目采用分期付款的方式，连续5年每年末偿还银行借款150万元，如果银行借款年利率为8%，按季计息，问截至到第5年末，该项目累计还款的本利和是多少？

【解】该项目还款的现金流量图如图2.16所示。

首先求出现金流动期的等效利率，也即实际年利率。根据公式（2.7），有：

　　　i=(1 r/m)m-1=8.24%

这样，原问题就转化为年利率为8.24%，年金为150万元，期限为5年，求终值的问题。

然后根据等额支付序列年金终值公式(2.12)，有：

　　　F=A(1 i)n-1/i=884.21(万元)

　　即该项目累计还款的本利和是884.21万元。

【例2.13】某企业5年内每年初需要投入资金100万元用于技术改造，企业准备存入一笔钱以设立一项基金，提供每年技改所需的资金。如果已知年利率为6%，问企业应该存入基金多少钱？

【解】这个问题的现金流量图如图2.17所示。

调整后的现金流量情况可参考图2.18所示。

由图2.18可知，这是一个已知A，i，n，求P的问题。根据年金现值公式(2.18)，有：

　　P=A(P/A,i,n)＝100×(1 6%)×(P/A,6%,5)= 446.51(万元)

　　即企业现在应该存入基金446.51万元。