第2章 资金时间价值与等值计算

2．2  资金时间价值计算的基本公式

2．2．1  复利计算的相关参数

1．现值（P）

表示发生在时间序列起点的资金价值，或者是将未来某时点发生的资金折算为之前某时点的价值，称为资金的现值。

2．终值（F）

终值表示发生在时间序列终点的现金流量（属预测价值），或者是将某时点发生的资金换算为以后某个时点的价值，又称为将来值。

3．年金（A）

年金指在一段连续的时点上发生的相等金额的现金流出或流入，又称为年值或等额值。如折旧、利息、租金等。

4．计息周期（n）

是指计算资金利息的次数。

5．利率（i）

也称折现率。将某一时点的资金折算为现值的过程称为折现。

2．2．2  复利计算基本公式

常用的计算公式有7个，可表示为算式和系数形式。

1．一次支付复利终值公式

（1）复利终值的概念

复利终值：也称将来值、未来值。指发生在某一时间序列终点的资金值（收益或费用），或者把某一时间序列其他各时刻资金折算到终点的资金值。

（2）计算公式

（3）复利终值计算的应用

【例题】

例1、现在借入100元，年利率是15%，一年后要还的本利和为115元。

例2、本金为50000元，利率或者投资回报率为3％，投资年限为30年，那么，30年后所获得的终值，按复利计算公式来计算就是：

上式中的称为“复利终值系数”，记着（F/P，i，n）。

考虑到名义利率和实际利率的关系，我们可以将公式进行修正，即：

（i为利率，m为计息次数，n为计息年数。）

例3、本金为100000元，年利率为2.25%，存入银行5年，分别按年、半年、季、月计息复利，计算5年后的终值。

例4、张云将100元钱存入银行，年利率为6％， 则各年年末的终值计算如下：

解析：　１年后的终值：

　　　　２年后的终值：

　　　　３年后的终值：

　　　　…………

　　　　ｎ年后的终值：

【例】现在把500元存入银行，银行年利率为4%，计算3年后该笔资金的实际价值。

【解】这是一个已知现值求终值的问题，其现金流量图见图2.4所示。

　由公式（2.8）可得：

　　　F=P(1 i)3=500×(1 4%)3=562.43(元)

　　即500元资金在年利率为4%时，经过3年后变为562.43元，增值62.43元。

　　这个问题也可以利用公式（2.9）查表计算求解。

　　由复利系数表（见附录）可查得：(F/P,4%,3)=1.1249

　所以，F=P(F/P,i,n)=P(F/P,4%,3)=500×1.1249=562.45（元）

2．一次支付复利现值的计算

（1）复利现值的概念

复利现值：发生在某一时间序列起点（零点）的资金值（收益或费用），或者把某一时间序列其他各时刻资金用折现办法折算到起点的资金值，称为现值，记做P。

（2）计算公式

复利现值的计算即由终值求现值，一般称为贴现或折现。称为现值系数或贴现系数、折现系数，简写为（P / F，i，n）。

（3）复利现值计算的应用

【例题】

例1、一笔贷款预计5年后归还20万元，如果该贷款的年利率为5.98%，则最初的借款是多少？

例2、假定李林在2年后需要1000元， 那么在利息率是7％的条件下，李林现在需要向银行存入多少钱?

　　解析： （元）

例3、王红拟购房，开发商提出两种方案，一是现在一次性付80万元；另一方案是5年后付100万元， 若目前的银行贷款利率是7％，应如何付款？

　　分析：

　　　　方法一：按终值比较

　　　　方案一的终值： （元）

　　　　方案二的终值： （元）

　　　　所以应选择方案二。

　　　　方法二：按现值比较

　　　　方案一的现值：（元）
　　　　方案二的现值：
　　　　（元）

　　　　仍是方案二较好

（4） 现值和终值的影响因素

1）各期时点上发生的金额的大小

2）i值的大小

3）计算期数的多少，或计息次数的多少，即n值的大小。

【例2.6】某企业6年后需要一笔500万元的资金，以作为某项固定资产的更新款项，若已知年利率为8%，问现在应存入银行多少钱？

【解】这是一个根据终值求现值的问题，其现金流量图见图2.6所示。

　　根据公式（2.10）可得：

　　　　P=F(1 i)-n=500×(1 8%)-6=315.10(万元)

　　即现在应存入银行315.10万元。

　　也可以通过查表，根据公式（2.11）得出。从附表可查得：(P/F,8%,6)=0.6302

　　所以，P=F(P/F,i,n)=F(P/F,8%,6)=5315.10（万元）

3．等额支付序列复利终值公式

在项目的时间序列中，连续时点上发生等额的现金流量A（年金），在利率为i，计算计息期末n的终值F。

把每次的等额支付看成是一次支付，利用一次支付复利终值公式得

式中：称为等额支付序列复利终值系数或年金终值系数，可以用或表示，可以通过查阅年金终值系数表直接获得。

公式推导：

普通年金终值为：
　　

等式两边同乘得：
　　

上述两式相减得：

化简得：

【例题】王红每年年末存入银行2000元， 年利率7％，5年后本利和应为多少？

解析：
　　　　５年后本利和为：
　　　　

【例】某大型工程项目总投资10亿元，5年建成，每年末投资2亿元，年利率为7%，求5年末的实际累计总投资额。

【解】这是一个已知年金求终值的问题，其现金流量图见图2.8所示。

　　根据公式（2.12）可得：

　　　　F=A (1 i)n-1/i=11.5(亿元)

　　此题表示若全部资金是贷款得来，需要支付1.5亿元的利息。

　　也可以通过查表，根据公式（2.13）得出。

4．等额支付序列积累基金公式

为了筹集未来n期期末所需要的一笔资金F，在利率为i的情况下，计算每个计息期末应等额存入的资金A，则由等额支付序列复利终值公式可得出：

式中：称为等额支付序列积累基金系数，可以用，可以通过查阅年金终值系数表直接获得。

【例】某企业5年后需要一笔50万元的资金用于固定资产的更新改造，如果年利率为5%，问从现在开始该企业每年应存入银行多少钱？

【解】这是一个已知终值求年金的问题，其现金流量图见图2.10所示。

　　根据公式有：

　　　A=Fi/[(1 i) n-1]=F(A/F,i,n)

　　　　　=50×(A/F,5%,5)=50×0.1810

　　　　　=9.05(万元)

　　即每年末应存入银行9.05万元。