第五章  定积分

  教学目的：

1、 理解定积分的概念。

2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。

3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。

 教学重点：

1、 定积分的性质及定积分中值定理

2、 定积分的换元积分法与分部积分法。

3、 牛顿—莱布尼茨公式。

 教学难点：

1、 定积分的概念

2、 积分中值定理

3、 定积分的换元积分法分部积分法。

4、 变上限函数的导数。

§5. 1  定积分概念与性质

    一、定积分问题举例

    1. 曲边梯形的面积

曲边梯形: 设函数y=f(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 

    求曲边梯形的面积的近似值: 

    将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a, b]中任意插入若干个分点

a=x₀< x₁< x₂< × × ×< x_n-1< x_n =b, 

把[a, b]分成n个小区间

[x₀, x₁], [x₁, x₂], [x₂, x₃], × × × , [x_n-1, x_n ], 

它们的长度依次为Dx₁= x₁-x₀ ,  Dx₂= x₂-x₁ , × × × , Dx_n = x_n -x_n-1 . 

    经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形. 在每个小区间

[x_i-1, x_i ]上任取一点x _i , 以[x_i-1, x_i ]为底、f (x _i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1, 2, × × × , n) , 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值, 即

A»f (x ₁)Dx₁  f (x ₂)Dx₂ × × ×  f (x _n )Dx_n. 

    求曲边梯形的面积的精确值: 

    显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记

l=max{Dx₁, Dx₂,× × ×, Dx_n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令l®0. 所以曲边梯形的面积为

. 

    2. 变速直线运动的路程

    设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔[T ₁, T ₂]上t的连续函数, 且v(t)³0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 

    求近似路程: 

    我们把时间间隔[T ₁, T ₂]分成n 个小的时间间隔Dt_i , 在每个小的时间间隔Dt_i内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔Dt_i内某点x _i的速度v(t _i), 物体在时间间隔Dt_i内 运动的距离近似为DS_i= v(t _i) Dt_i . 把物体在每一小的时间间隔Dt_i内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T ₁ , T ₂]内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是: 

在时间间隔[T ₁ , T ₂]内任意插入若干个分点

T ₁=t ₀< t ₁< t ₂<× × ×< t _n-1< t _n=T ₂, 

把[T ₁ , T ₂]分成n个小段

[t ₀, t ₁], [t ₁, t ₂], × × ×, [t _n-1, t _n] , 

各小段时间的长依次为

Dt ₁=t ₁-t ₀, Dt ₂=t ₂-t ₁,× × ×, Dt _n =t _n -t _n-1. 

相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为

DS ₁, DS ₂, × × ×, DS _n. 

    在时间间隔[t _i-1, t _i]上任取一个时刻t _i (t _i-1<t _i< t _i), 以t _i时刻的速度v(t _i)来代替[t _i-1, t _i]上各个时刻的速度, 得到部分路程DS _i的近似值, 即 

DS _i= v(t _i) Dt _i   (i=1, 2, × × × , n). 

于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即

; 

    求精确值: 

    记l = max{Dt ₁, Dt ₂,× × ×, Dt _n}, 当l®0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程

. 

    设函数y=f(x)在区间[a, b]上非负、连续. 求直线x=a、x=b、y=0

及曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面积. 

    (1)用分点a=x₀<x₁<x₂< × × ×<x_n-1<x_n =b把区间[a, b]分成n个小区间: 

[x₀, x₁], [x₁, x₂], [x₂, x₃], × × × , [x_n-1, x_n ], 记Dx_i=x_i-x_i-1 (i=1, 2, × × × , n).

    (2)任取x _iÎ[x_i-1, x_i], 以[x_i-1, x_i]为底的小曲边梯形的面积可近似为

 (i=1, 2, × × × , n); 所求曲边梯形面积A的近似值为

                . 

    (3)记l=max{Dx₁, Dx₂,× × ×, Dx_n }, 所以曲边梯形面积的精确值为

                . 

    设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔[T ₁, T ₂]上t的连续函数, 

且v(t)³0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 

    (1)用分点T₁=t₀<t₁<t₂<× × ×<t _n-1<t_n=T₂把时间间隔[T ₁ , T ₂]分成n个小时间

段: [t₀, t₁], [t₁, t₂], × × ×, [t_n-1, t_n] , 记Dt_i =t_i-t_i-1 (i=1, 2, × × × , n).

    (2)任取t_iÎ[t_i-1, t_i], 在时间段[t_i-1, t_i]内物体所经过的路程可近似为v(t_i)Dt_i 

(i=1, 2, × × × , n); 所求路程S 的近似值为

                . 

    (3)记l=max{Dt₁, Dt₂,× × ×, Dt_n}, 所求路程的精确值为

                . 

    二、定积分定义

    抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义. 

    定义  设函数f(x)在[a, b]上有界, 在[a, b]中任意插入若干个分点

a =x₀< x₁< x₂< × × ×< x_n-1< x_n=b, 

把区间[a, b]分成n个小区间

[x₀, x₁], [x₁, x₂], × × ×, [x_n-1, x_n] , 

各小段区间的长依次为

Dx₁=x₁-x₀, Dx₂=x₂-x₁,× × ×, Dx_n =x_n -x_n-1. 

在每个小区间[x_i-1, x_i]上任取一个点x _i (x_i-1< x _i < x_i), 作函数值f (x _i)与小区间长度Dx_i的乘积

f (x _i) Dx_i (i=1, 2,× × ×, n) , 并作出和

. 

记l = max{Dx₁, Dx₂,× × ×, Dx_n}, 如果不论对[a, b]怎样分法, 也不论在小区间[x_i-₁, x_i]上点x _i 怎样取法, 只要当l®0时, 和S 总趋于确定的极限I, 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间[a, b]上的定积分, 记作, 

即         .

其中f (x)叫做被积函数, f (x)dx叫做被积表达式, x叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a, b]叫做积分区间. 

    定义    设函数f(x)在[a, b]上有界, 用分点a=x₀<x₁<x₂< × × ×<x_n-1<x_n=b把[a, b]分成n个小区间: [x₀, x₁], [x₁, x₂], × × ×, [x_n-1, x_n] , 记Dx_i=x_i-x_i-1(i=1, 2,× × ×, n).

    任x _iÎ[x_i-1, x_i] (i=1, 2,× × ×, n), 作和

                . 

    记l=max{Dx₁, Dx₂,× × ×, Dx_n}, 如果当l®0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a, b]的分法和x _i的取法无关, 则称这个极限为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分, 记作, 

即              .

    根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为. 

    变速直线运动的路程为. 

    说明: 

    (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即

. 

    (2)和通常称为f (x)的积分和. 

    (3)如果函数f (x)在[a, b]上的定积分存在, 我们就说f (x)在区间[a, b]上可积. 

    函数f(x)在[a, b]上满足什么条件时, f (x)在[a, b]上可积呢？

    定理1  设f (x)在区间[a, b]上连续, 则f (x) 在[a, b]上可积. 

    定理2  设f (x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x) 在[a, b]上可积. 

    定积分的几何意义: 

    在区间[a, b]上, 当f(x)³0时, 积分在几何上表示由曲线y=f (x)、两条直线x=a、x=b 与x轴所围成的曲边梯形的面积; 当f(x)£0时, 由曲线y =f (x)、两条直线x=a、x=b 与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值; 

        .

    当f (x)既取得正值又取得负值时, 函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方, 而其它部分在x轴的下方. 如果我们对面积赋以正负号, 在x轴上方的图形面积赋以正号, 在x轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分的几何意义为: 它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和. 

用定积分的定义计算定积分: 

    例1. 利用定义计算定积分. 

    解  把区间[0, 1]分成n等份, 分点为和小区间长度为

    (i=1, 2,× × ×, n-1), (i=1, 2,× × ×, n) .

    取(i=1, 2,× × ×, n), 作积分和

                      . 

    因为, 当l®0时, n®¥, 所以

    .

    利定积分的几何意义求积分:

    例2. 用定积分的几何意义求.

    解: 函数y=1-x在区间[0, 1]上的定积分是以y=1-x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y=1-x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以

        .

    三、定积分的性质

    两点规定: 

    (1)当a=b时, . 

    (2)当a>b时, . 

    性质1  函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即

        . 

    证明: 

                      . 

    性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即

        .

    这是因为.

性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即

        . 

    这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 

    值得注意的是不论a ,b ,c的相对位置如何总有等式

成立. 例如, 当a<b<c时, 由于

        ,  

于是有

        . 

    性质4  如果在区间[a b]上f (x)º1 则

        . 

    性质5  如果在区间[a, b]上 f (x)³0, 则

        (a<b). 

    推论1  如果在区间[a, b]上 f (x)£ g(x) 则

        (a<b). 

    这是因为g (x)-f (x)³0, 从而

        , 

所以

        . 

    推论2 (a<b). 

    这是因为-|f (x)| £ f (x) £ |f (x)|, 所以

        ,  

即      | . 

    性质6  设M 及m 分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及最小值, 则

         (a<b). 

    证明  因为 m£ f (x)£ M , 所以

      ,  

从而

        . 

    性质7  (定积分中值定理)  如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续, 则在积分区间[a, b]上至少存在一个点x , 使下式成立: 

        . 

这个公式叫做积分中值公式. 

    证明  由性质6  

        ,

各项除以b-a  得

        ,

再由连续函数的介值定理, 在[a, b]上至少存在一点x , 使

        ,

于是两端乘以b-a得中值公式

        . 

    积分中值公式的几何解释: 

    应注意: 不论a<b还是a>b, 积分中值公式都成立.