在整体设计中的位置

第1、2次

授课班级

上课地点

教学

目标

能力目标

知识目标

素质目标

➀能熟练把握函数的概念,确定变量关系

➁能够了解并确定函数的定义域与对应法则

➂能够熟练判断两个函数是不是同一个函数

➃能够掌握复合函数分解与合成

➀函数概念

➁定义域

➂对应法则

➃函数表示

➄复合函数

➀深刻思维能力

➁团结合作能力

➂语言表达能力

能力训练任务

及案例

任务1  查阅资料，函数的历史

任务2  理解函数的两个要素

任务3  如何求解函数的定义域

任务4  如何判断两个函数是同一个函数

任务5  阅读教材第3页 总结函数的表示方法

任务6  什么是分段函数？学生分组讨论，给出自己的想法

任务7  函数四个特性回忆与加强

任务8  复合函数分解与合成

案例1（速度距离问题）  一个物体速度是v，行驶路程是s，那么经过时间t，它形式了多么长的距离？

案例2（纳税问题）  搜集中国的个人收入所得税纳税标准，设某人月工资元，请建立他的纳税税额函数。

案例3  任意两个函数是否都能合成一个函数；如何分解一个复合函数。

案例4（人口问题）  1982年底，我国人口10.3亿，按照年均20%的自然增长率，到2013年底，我国人口将是多少？

案例5（奖学金等级问题）  了解我们漯河职业技术学院的奖学金发放规则，建立奖学金的分段函数

案例6（贷款抵押模型）设二室一厅的商品房价值100000元，某人自筹资金40000元，要购房还需要借款60000元，条件是每年还一些，25年还清，房子就归债权人，该人具备什么能力才能借款？

教学

材料

《高等数学》，武术胜、刘贞民主编，吉林大学出版社，2010.

1

（告知）

本单元学习目标：

➀函数概念；➁定义域；➂对应法则；➃函数表示；

➄分段函数；➅函数性质；➆复合函数

陈述

板书

识记

5分钟

2

（引入

任务1）

查阅资料

函数概念发展历史

出示案例1，引入函数概念

学生阅读自主讨论

教师提示

分组研讨

5分钟

3

（任务2）

函数的两个要素：对应法则、定义域

什么是对应法则？

什么是定义域？

学生阅读课本总结

由学生自己得出函数定义

教师

启发

讲解

板书

师生研讨

5分钟

4

（任务3）

求解函数的函数值和定义域：

例1

求

 例2  求下列函数的定义域

        （1）

        （2）

教师引导法

学生分组学习

学生演示

学生讨论

10分钟

5

（任务4）

如何判断两个函数是同一个函数，判断下列函数是不是同一个函数？

（1） 

（2） 

（3） ，

教师重复提示函数的两个要素，引导学生注意

黑板演示

学生讨论

15分钟

7

（任务6）

分段函数

表达式以及定义域

例 ，求f(1),f(-0.5) ,

f(3.5)

例2、 画出分段函数

学生阅读课本，自主学习

黑板展示

学生讨论

20分钟

8

（任务7）

函数的四个特性：

1、奇偶性

定义2 设是个对称区域，如果任意的，有，则称在上是偶函数；如果任意的，有，则称在上是奇函数

例3判断下列函数的奇偶性

（1）

（2）

（3）

（4）

2、单调性

定义3（1）如果与定义域内任意两个点，有，则在上单调增加

（1）如果与定义域内任意两个点，有，则在上单调减少

例4 证明在区间上的单调性

3、有界性

定义4 若存在正数M，使得，则称在上有界。例如在实数域上有界。

例5 由三角函数说明其有界性。

4、周期性

定义5如果存在不为零的数,使得任意的，有，则称在上周期函数。例如正弦函数，是最小正周期。例6 求 的周期

教师分别讲解

黑板演示

学生听讲

25分钟

9

（任务8）

初等函数

1、基本的初等函数定义

2、复合函数定义

复合函数的合成与分解

这是重点内容，直接涉及后面的复合函数求导

3、初等函数

注意：复合函数分解到简单函数为止。简单函数就是有基本初等函数经过有限次四则运算合成的函数。

例7、指出下列函数的复合过程：

（1），（2）

例8、设

求

教师讲解

学生演练

黑板演示

黑板展示

学生讨论学习

45分钟

10

操练

深化

应用案例在课堂进行中解答

学生自行研究

45分钟

作业

将案例6上作业  设二室一厅的商品房价值100000元，某人自筹资金40000元，要购房还需要借款60000元，条件是每年还一些，25年还清，房子就归债权人，该人具备什么能力才能借款？

课后

体会

在整体设计中的位置

第3次

授课班级

上课地点

教学

目标

能力目标

知识目标

素质目标

能够熟练掌握极限的六种过程

极限6种过程

➀深刻思维能力

➁团结合作能力

➂语言表达能力

能力训练任务

及案例

任务1  查阅资料，了解极限的含义

任务2  了解数列极限概念

任务3 阅读课本，学习函数极限

任务4  在任务2完成的基础上，自学，，，，，

案例1（老人分遗产）  一个老人有17头牛，他打算把这17头牛的分给老大，分给老二，分给老三，请问改怎么分？提示：采取极限思想，一头牛分，剩下。答案：老大9头，老二6头，老三2头牛。

案例2 （无穷直角三角形面积）

案例3  ，，，

教学

材料

《高等数学》，武术胜、刘贞民主编，吉林大学出版社，2010.

1

（告知）

本单元学习目标：

1、会求简单数列极限

2、掌握函数的六种极限过程，，，，，

陈述

板书

识记

5分钟

2

（引入

任务1）

1、查阅资料

2、了解数列极限含义，会用数列极限概念做简单极限问题

例1、讨论下列数列是否有极限，如果有，说出它的极限

(1)、

(2)、

(3)、

学生阅读自主讨论

教师提示

分组研讨

10分钟

3

（任务2）

阅读课本，学习极限

1、当时函数的极限

设一个函数，当时，如果函数无限趋近于确定的常数，那么就叫做函数当时的极限，记做或当时，

例2、求当函数，当时的变化趋势。

2、当时函数的极限

例3、求的值

例4、考察的极限，其中为常数。

3、左右侧极限

（1）表示自变量x从右侧（数轴的正方向）趋向，随着x从右侧趋向,f(x)函数值趋向一个数，这个数就是f(x)的右极限，记作。

（2）表示自变量x从左侧（数轴的负方向）趋向，随着x从左侧趋向,f(x)函数值趋向一个数，这个数就是f(x)的左极限，记作。

例5 若函数

试求，，

补充例题

例6、计算

的图像是

可见，随着时，。因此=2

注：此极限2也就是把x=1代入所得到的。

例7  计算

这个极限就不能直接把x=1导入到函数里面，因为无意义。所以应当先分解。

练习

1、

2、

3、

画图法教师启发讲解

板书

师生研讨

30分钟

4

（任务3）

在任务2完成的基础上，自学，，，，

教师引导法

学生练习法

学生演示

学生讨论

15分钟

5

（操练）

求解下列极限：

例1 ，画出函数图像，讨论，，

例2 ，讨论，，

例3

例4 ，，

例5 分析

Key:

教师提示，引导学生注意

黑板演示

学生讨论

30分钟

6

（案例）

案例在课堂进行中解答

作业

13页 3,4,5,6

课后

体会

在整体设计中的位置

第4次

授课班级

上课地点

教学

目标

能力目标

知识目标

素质目标

➀能够理解无穷小的概念

➁能够应用无穷小性质计算某些函数极限

➂能够理解无穷大的概念

➃能够掌握无穷小和无穷大的倒数关系，并相互求解

无穷小

无穷大

➀深刻思维能力

➁团结合作能力

➂语言表达能力

能力训练任务

及案例

任务1  无穷小量概念

任务2  阅读课本，学习无穷小性质及应用

任务3  学习无穷大概念，理解无穷大与无穷小关系

案例1 求

案例2  求

案例3  求在什么情况下是无穷小，在什么情况下是无穷大。

教学

材料

《高等数学》，武术胜、刘贞民主编，吉林大学出版社，2010.

1

（告知）

本单元学习目标：

无穷小量，无穷大量

陈述

板书

识记

5分钟

2

（引入

任务1）

学生阅读，无穷小量概念

极限为零的函数叫做在该极限过程下的无穷小量。特别注意，无穷小量不是很小很小的数。

下列函数在什么情况下是无穷小量？

（1） 

（2） y=2x-1

（3） 

（4） 

学生阅读自主讨论

教师提示

分组研讨

15分钟

3

（任务2）

无穷小性质

（1）四条无穷小性质中最重要的是什么？

a) 有限个无穷小的代数和是无穷小

b) 无穷小与无穷小的积是无穷小

c) 常数与无穷小的积是无穷小

d) 有限个无穷小的积是无穷小

（2）计算

例1

例2

例3

教师启发讲解

板书

师生研讨

25分钟

4

（任务3）

无穷大

在某极限过程下，函数值的绝对值无限变大的函数叫做在该极限过程下的无穷大。

（1）无穷大就是很大很大的一个数吗？

（2）无穷大与无穷小什么关系

无穷大与无穷小是倒数关系。

下列函数在怎么样的情况下是无穷大？

（1） 

（2） y=2x-1

（3） ,

（4） 

（5） y=lnx

教师引导法

学生练习法

学生演示

学生讨论

15分钟

5

（操练

案例）

案例1 求

案例2  求

案例3  求在什么情况下是无穷小，在什么情况下是无穷大。

教师提示，引导学生注意

学生讨论

30分钟

作业

15页 2

课后

体会

在整体设计中的位置

第4次

授课班级

上课地点

教学

目标

能力目标

知识目标

素质目标

具有用极限思想分析问题的意识，感知极限与生活的紧密联系

掌握极限的四则运算法则

➀深刻思维能力

➁团结合作能力

➂语言表达能力

能力训练任务

及案例

任务1：对某种电子产品的销售作出预测

任务2：运用极限的四则运算法则求极限

案例1某商场推出某种电子产品时，在短期内销量会迅速增加，然后下降，其函数关系为，请你对该产品的长期销售作出预测

分析：

所以购买次电子产品的人将越来越少，转而买新的电子产品

教学

材料

《高等数学》，武术胜、刘贞民主编，吉林大学出版社，2010.

1

（告知）

极限四则运算法则

    由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。

定理1：若，则存在，且。

注：本定理可推广到有限个函数的情形

陈述

板书

识记

5分钟

2

（引入

任务1）

定理2：若，则存在，且

。

推论1：（为常数）。

推论2：（为正整数）。

学生阅读自主讨论

教师提示

分组研讨

5分钟

3

（任务2）

定理3：设，则。

注：以上定理对数列亦成立。

分析：定理和推论只要求掌握它的意义和运用，对证明不作要求

例1  计算

例2  计算

例3  计算

例4  计算

这个极限就不能直接把x=2导入到函数里面，因为无意义。所以应当先分解。

例5  计算

画图法教师启发讲解

板书

师生研讨

35分钟

4

（任务3）

在任务3完成的基础上，练习

1、

2、

3、

4、

5、

教师引导法

学生练习法

学生演示

学生讨论

25分钟

5

（操练）

求解下列极限：

1、若，求a,b的值

解：当时，，且

2、求。

解：当时，这是无穷多项相加，故不能用定理1，先变形：

    原式

教师提示，引导学生注意

黑板演示

学生讨论

20分钟

作业

17页 1、2、3

课后

体会

在整体设计中的位置

第5次

授课班级

上课地点

教学

目标

能力目标

知识目标

素质目标

➀能够理解并应用

➁能够理解并应用

➂能够运用无穷小替换求极限

掌握

掌握

掌握无穷小替换定理

➀深刻思维能力

➁团结合作能力

➂语言表达能力

能力训练任务

及案例

任务1  理解并证明

任务2  在若干极限中的应用

任务3  理解

任务4  在若干极限中的应用

任务5  无穷小替换定理

案例1 求        案例2  求

案例3  求证，与是等价无穷小

案例4  注：这个问题是个竞赛题，需要学生讨论解决

教学

材料

《高等数学》，武术胜、刘贞民主编，吉林大学出版社，2010.

1

（告知）

本单元学习目标：

并应用

并应用

运用无穷小替换求极限

陈述

板书

识记

5分钟

2

（引入

任务1）

学生阅读自学，

 （1）这个极限要注意三点，那三点？

 （2）这个极限如何使用？

 （3）这个极限如何证明？

教师画图讲解

教师提示

分组研讨

10分钟

3

（任务2）

应用

学生先讨论：如何应用这个极限？对吗？为什么？

例1  

例2

教师启发讲解

板书

师生研讨

30分钟

4

（任务3）

理解

（1）这个极限要注意什么？

（2）你打算如何使用这个极限？

（3）

教师画图讲解

学生听讲

学生讨论

10分钟

5

（任务4）

应用

例1

例2

例3 （注：这个也是公式）

例4

教师提示，引导学生注意

黑板演示

学生讨论

10分钟

6

（任务5）

无穷小替换定理

设

则

（1）无穷小替换要注意什么事项？

（2）你都知知道那些常用等价无穷小？总结出来，并记忆

用无穷小替换定理处理下题

例1

教师讲解

黑板演示

学生听讲

5分钟

7

案例

案例1 求（要求：两种方法）

案例2  求

案例3  求证，与是等价无穷小

案例4  （注：这个问题是个竞赛题，需要学生讨论解决

例3、

教师指导

20分钟

作业

19、20页 1 ，2，3

课后

体会

在整体设计中的位置

第6、7次

授课班级

上课地点

教学

目标

能力目标

知识目标

素质目标

➀能够理解自变量增量、函数的增量概念

➁能够理解函数的连续的图像定义和两个公式定义

➂能够理解函数的间断点并简单判断

掌握自变量增量、函数的增量概念

掌握函数两个的定义

掌握间断点

➀深刻思维能力

➁团结合作能力

➂语言表达能力

能力训练任务

及案例

任务1  理解增量

任务2  利用增量定义函数连续

任务3  分辨间断点

案例1 求

案例2  求

案例3  的间断点类型 

案例4 设，问常数何值时，函数f(x)在上连续

教学

材料

《高等数学》，武术胜、刘贞民主编，吉林大学出版社，2010.

1

（告知）

本单元学习目标：

增量

函数的连续性

间断点

陈述

板书

识记

5分钟

2

（引入

任务1）

增量

（1）自变量的增量

例1 设一个物体以每秒3米的速度行进，，，那么从到时间增加了多少？这个增加的时间就是时间的增量

例2 y=2x 1,x从1增加到3.5，x的增量是多少？

（2）函数的增量

随着自变量的增量而改变的函数的增量

例1 当到时间增加时，路程增加了多少？这就是时间t的函数路程的增量。

例2 x从1增加到3.5时，函数y增加了多少？

以后自变量增量记作，；函数增量记作，

例1、在下列条件下，求函数的增量

（1）、当x由2变到3；

（2）、当x由2变到1；

教师画图讲解

教师提示

分组研讨

15分钟

3

（任务2）

增量定义函数连续

函数的连续，从图像上来说就是函数图像不间断。

第一个定义：函数在连续，那么

第二个定义：函数在连续，

案例：根据连续性

求，，

教师启发讲解

注意两个定义的过度

板书

师生研讨

25分钟

4

（任务3）

间断点

根据连续的第二个定义，启发学生，函数在一个点如果不连续，会有几种情况：

（1）与均存在，但是不相等

（2）与均存在（即存在），但是不等于函数值

（3）与至少一个不存在

教师画图讲解启发学生

学生听讲

学生讨论

20分钟

5

（案例）

案例应用

案例1 求

案例2  求

案例3  的间断点类型

案例4 设，问常数何值时，函数f(x)在上连续

例2、适当的选取a的值，使函数在处连续

教师提示，引导学生注意

黑板演示

学生讨论

25分钟

    6

（任务）

1、连续函数的和差积商的连续性

如果函数，在点处连续，那么它们的和差积商（分母在处不等于0）也在点处连续。

例3、判断和在处的连续性

2、复合函数的连续性

如果函数在点处连续，且，而函数在点处连续，那么复合函数在点处也连续

例4、判断在处的连续性

老师启发讲解

黑板演示

学生讨论

20

7

（任务）

3、初等函数的连续性定理

基本初等函数在其定义域内是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的

例5、求

4、闭区间上连续函数的性质

最大值和最小值存在定理 闭区间上连续函数一定能取得最大值和最小值．

根的存在定理 设为闭区间上的连续函数，且异号，则至少存在一点，使得．

介值定理 设是闭区间上连续函数，且，则对介于之间的任意一个数，则至少存在一点

．

例6、判断函数

在闭区间上是否由最值。

例7、证明方程在内至少由一个实根。

判断函数连续性的方法

    由于初等函数在它的定义区间内总是连续，所以函数的连续性讨论多指分段函数在分段处的连续性．

启发式讲解

黑板演示

学生讨论

25

作业

25，26页5 6 7  8  9

课后 体会